Carré magique d’Albrecht Dürer

 

Carré magique
Carré magique

Carré magique de Dürer

Albrecht Dürer (1471-1528) est considéré comme l’artiste le plus fameux d’Allemagne. En 1514 il réalisa une gravure du nom de « mélancolie » qui contient son “carré magique”, le premier créé en Europe. Le nom de l’oeuvre fait allusion a l’une des quatre “humeurs” classiques sensées influer sur le corps humain et son comportement (humeurs sanguine, colérique, flegmatique et mélancolique). Pendant la Renaissance on associa la mélancolie au génie et à la créativité artistique. Le caractère mélancolique (ou mélancolie) était également connu comme bile noire dont on voit le reflet sur le visage sombre (noir) de “l’ange”. La balance, le sablier et les clochettes présentes aussi, sont les symboles du dieu Saturne, dieu lié à la vieillesse et la mort.

Mélancolie Tableau peint par Albert Dürer en 1514.
Mélancolie Tableau peint par Albert Dürer en 1514.

Dürer est non seulement peintre, mais s’intéresse aussi sérieusement aux mathématiques, et écrira même plus tard, un traité de géométrie « pratique ». Outre les attributs du géomètre, comme le compas, deux objets mathématiques attirent le regard.

D’abord, un polyèdre. Il s’agit en fait d’un rhomboèdre, c’est-à-dire d’un polyèdre dont les faces sont des losanges, qu’on obtient en déformant un cube, et qui est ici tronqué.

On trouve aussi un carré magique de taille 4, qui est à droite sur le mur de la maison. Il est combiné de telle sorte que pris horizontalement, verticalement ou en diagonale, la somme des nombres considérés est 34. Les deux nombres du centre de la ligne inférieure indiquent l’année de la création de cette oeuvre artistique, soit 1514.

La somme des lignes du carré magique est: 34. La somme des colonnes est: 34

16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1

La somme des 4 coins du carré magique est: 34 et si on tourne la sélection dans le sens horaire, la somme est 34. On tourne encore une fois et…

16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1

La somme des carrés du centre est 34

16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1

et c’est aussi vrai pour la somme des diagonales de ce carré magique.

16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1

 

Un carré est magique lorsque la somme des nombres de chaque ligne, de chaque colonne et de chacune des deux diagonales est identique. Cette somme est appelée densité du carré magique. L’ordre du carré correspond au nombre d’éléments d’une ligne, d’une colonne ou d’une diagonale. Un carré d’ordre 4 contient dix rangées de quatre éléments. Il y a 20 922 789 888 000 façons possibles de placer les entiers de 1 à 16 dans une grille carrée de 16 cases. On peut identifier toutes les combinaisons de quatre éléments dont la somme est 34 en procédant de façon systématique, par exemple, en commençant par 1, puis en vérifiant chaque autre entier en suivant l’ordre numérique. Il existe 86 combinaisons.

En 1693, les 880 carrés magiques d’ordre 4 ont été publiés à titre posthume dans le texte Des Quarrez ou tables magiques de Bernard Frénicle de Bessy.